Grassmann 数

在数学物理学中，格拉斯曼数（又称反交换数）是一种用于狄拉克场路径积分表示的数学架构。格拉斯曼数是以德国学者赫尔曼·格拉斯曼命名的。取任意两个格拉斯曼代数\(\theta\)和\(\eta\), 则它们之间成反交换关系，即 \[\begin{equation} \theta\eta=-\eta\theta \label{eq:grassmann0} \end{equation}\] 同时格拉斯曼变量与一般的数\(x\)则为交换关系,即 \[\begin{equation} \theta x=x\theta \label{eq:grassmann1} \end{equation}\]

由于\(\theta^2=-\theta^2\), 所以有\(\theta^2=0\), 于是任意函数\(f(\theta)\)泰勒展开为 \[\begin{equation} f(\theta)=A+B\theta \label{eq:grassmann2} \end{equation}\] 既然函数\(f(\theta)\)是任意的，所以对于一个周期函数也必然成立，即 \[\begin{equation} \int f(\theta)d{\theta}=\int f(\theta+T)d{\theta} \label{eq:grassmann3} \end{equation}\] 把式\(\eqref{eq:grassmann2}\)代入到式\(\eqref{eq:grassmann3}\)可得 \[\begin{equation} \int A+B\theta d{\theta}=\int A+B\theta d{\theta}+BT\int 1 d{\theta} \label{eq:grassmann4} \end{equation}\] 由于对于任意的周期函数都成立，所以必然有 \[\begin{equation} \int 1d{\theta}=0 \label{eq:grassmann5} \end{equation}\] 对式\(\eqref{eq:grassmann2}\)积分得 \[\begin{equation} \int f(\theta)d{\theta}=B\int \theta d{\theta} \label{eq:grassmann6} \end{equation}\] 式\(\eqref{eq:grassmann6}\)中的积分不能对所有函数都是零，所认定义对\(\theta\)的积分为\(1\), 即 \[\begin{equation} \int \theta d{\theta}=1 \label{eq:grassmann7} \end{equation}\]