布丰投针计算圆周率的原理

发表于 2025-04-07 更新于 2025-04-18

布丰投针（Buffon's Needle）是一种通过概率实验估算圆周率 \(\pi\) 的方法。这种方法基于几何概率模型，属于蒙特卡罗方法的一种应用。

实验设定

平面上画有许多平行线，这些线之间的距离为 \(d\)。
针的长度为 \(l\)，并且假设 \(l \leq d\)（即针的长度不超过平行线间的距离）。
当针被随机投掷到平面上时，考虑以下变量：
- \(x\)：针的中点到最近一条线的距离，取值范围为 \([0, d/2]\)。
- \(\theta\)：针与线的夹角，取值范围为 \([0, \pi]\)。

针与线相交的条件是：针的一个端点到底边界的垂直距离小于等于 \((l/2)\sin(\theta)\)。换句话说，如果针的中点到最近线的距离满足以下关系，则针会与至少一条线相交：

\[ x \leq \frac{l}{2} \sin(\theta) \]

对于任意给定的 \(\theta\)，当 \(x\) 在 \(0\) 到 \((l/2)\sin(\theta)\) 之间时，针与线相交。因此，对于每个固定的 \(\theta\)，针与线相交的概率为：

\[ P_{\text{single}} = \frac{\frac{l}{2} \sin(\theta)}{\frac{d}{2}} = \frac{l \sin(\theta)}{d} \]

由于 \(\theta\) 在 \([0, \pi]\) 范围内均匀分布，我们需要对所有可能的 \(\theta\) 进行积分，并取平均值得到总的相交概率：

\[ P = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{l \sin(\theta)}{d} \, d\theta \]

上述积分可以简化为：

\[ P = \frac{2l}{\pi d} \int_{0}^{\pi} \sin(\theta) \, d\theta \]

该积分的结果为：

\[ \int_{0}^{\pi} \sin(\theta) \, d\theta = [-\cos(\theta)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 2 \]

将积分结果代回原公式，得到针与线相交的概率：

\[ P = \frac{2l}{\pi d} \times 2 = \frac{2l}{\pi d} \]

通过大量实验，记下针与线相交的次数 \(N_{\text{hit}}\) 和总的投针次数 \(N_{\text{total}}\)。根据大数定律，可以用频率估计概率：

\[ P \approx \frac{N_{\text{hit}}}{N_{\text{total}}} \]

结合概率公式 \(P = \frac{2l}{\pi d}\)，我们可以解出 \(\pi\) 的近似值：

\[ \pi \approx \frac{2l N_{\text{total}}}{d N_{\text{hit}}} \]

布丰投针实验通过简单的几何概率模型和随机实验，提供了一种估算圆周率 \(\pi\) 的方法。随着实验次数的增加，估算结果的精度也会提高。