内积的三种表示方法

在不同的物理学研究领域中，往往使用的符号不太一致，这对于理解某一项技术有些困难。因此，本文总结三种内积的表示方法：标准矢量分析、矩阵转置和狄拉克符号法。

标准矢量分析

在经典矢量分析、物理学、理论物理中使用标准矢量分析表示内积：

\[\begin{equation}\label{eq:dianji} A\cdot{}B=\sum_{i}A_iB_i \end{equation}\]

此公式明确表示了两个向量的投影关系。

矩阵转置

此法一般在线性代数和数值计算中采用矩阵形式，其特点是：将向量视为列矩阵，通过转置(T),将其变为行矩阵，然后利用矩阵乘法的实现点积的表达, 但是在解析推导中较少使用，而在代码中更直观.

\[\begin{equation}\label{eq:jvzhen} A^TB = \begin{bmatrix} A_1 , A_2, \cdots , A_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_n \end{bmatrix} =\sum_{i}A_iB_i \end{equation}\]

狄拉克符号法

狄拉克符号法主要使用在量子力学、泛函分析等领域。一般情况下，它和点积是等价的，即

\[\begin{equation}\label{eq:dirac} <A,B>=\sum_iA_iB_i \end{equation}\]

但是如果向量是复数，则稍有不同，即

\[\begin{equation}\label{eq:dirac0} <A,B>=\sum_iA_i^{*}B_i \end{equation}\]

注意：在严格的标准矢量分析时应当优先使用\(A\cdot{}B\)的形式，而其他形式需结合上下文明确含义。

爱因斯坦约定

爱因斯坦提出了一种上下标相同表示对全部指标求和的方法，我们补充在最后。其定义为

\[\begin{equation}\label{eq:einstein} A^iB_i=\sum_i A^iB_i \end{equation}\]

这里的自动求各指标\(i\)称为哑标。矢量的分\(B_i\)表示协变分量，\(A^i\)表示逆变分量。协变分量和逆变分量是对偶基底下的两个表示，这是最大程度的普遍形式，它在相对论中使用广泛。