共振能区的散射截面

在共振能量范围内，中子与原子核发生的弹性散射是中子在反应堆中发生慢化的主要途径，超过百分之九十九的裂变中子都是快中子，所以这些快中子对共振能量范围内的能谱影响较小，故可以忽略。在简化计算中子输运方程中，弹性散射截面可以视为各向同性的，所以可以近似认为

\[\begin{equation}\label{eq:tanxing} \int_{E}^{E'}\sigma_{s,k}(E'\to E)dE=\sigma_{s,k}(E') \end{equation}\]

设原子核初始处于静止状态，中子的初始速度为\(v_0^\prime\), 碰后的速度大小为\(v\), 则对心正碰时中子传递给原子核的能量最多，也就是中子损失的能量最多。按对心正碰计算碰后的最小能量与碰前的能量之比，设中子质量为\(m\), 原子核质量为\(M\), 则弹性碰撞的质心速度为

\[\begin{equation}\label{eq:tanxing0} v_c=\frac{mv_0^\prime+0}{m+M} \end{equation}\]

对于中子而言，其碰后速度容易根据牛顿碰撞定律获得为

\[\begin{equation}\label{eq:tanxing1} v=2v_c-v_0^\prime=\frac{m-M}{m+M}v_0^\prime \end{equation}\]

于是可得，碰后和碰前的中子能量比为

\[\begin{equation}\label{eq:tanxing2} \frac{E}{E'}=\frac{v^2}{v_0^{\prime2}}=\left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2 \end{equation}\]

令\(A_k=\frac{M}{m}\), 则\(\eqref{eq:tanxing2}\)可以进一步写为

\[\begin{equation}\label{eq:tanxing3} \frac{E}{E'}=\left(\frac{A_k-1}{A_k+1}\right)^2=\alpha_k \end{equation}\]

于是式\(\eqref{eq:tanxing}\)可以近似写为 \[\begin{equation}\label{eq:tanxing4} \sigma_{s,k}(E'\to E)(E'-E)=\sigma_{s,k}(E'\to E)(1-\alpha_k)E'=\sigma_{s,k}(E') \end{equation}\]

进一步可得 \[\begin{equation}\label{eq:tanxing5} \sigma_{s,k}(E'\to E)=\frac{\sigma_{s,k}(E')}{(1-\alpha_k)E'} \end{equation}\]

式\(\eqref{eq:tanxing5}\)正是共振能区的散射截面，此式的建立可以使中子输运方程得以进一步简化。